树上LCA
倍增法
设 $f_{i,j}$ 为第 $i$ 个点往上跳 $2^j$ 个点所到的点，显然 $f_{i,0}$ 为第 $i$ 个点的父亲。
对于点 $u,v$，我们只需要将它们调整至同一深度，然后一起往上跳（不能重合）直到不能再跳，则最后它们的父亲就是 $lca(u,v)$。
我们可以 $dfs$ 预处理出 $f_{i,0}$ 和 $deep_i$。时间复杂度为 $O(n)$。
对于 $f_{i,j}$，可以看做 $i$ 号点向上跳 $2^{j-1}$ 个点后再跳 $2^{j-1}$ 个点得到的，因为 $2^{j-1} \times 2 = 2^j = 2^{j-1} + 2^{j-1}$。
所以得到递推式：
$f_{i,j}=f_{f_{i,j-1},j-1}$
预处理 $f$ 数组复杂度为 $O(n log n)$
查询复杂度为 $O(log n)$
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s;
vector<int>g[500005];
int f[500005][30],deep[500005];
void dfs(int x,int fa){
f[x][0]=fa;
deep[x]=deep[fa]+1;
for(auto v:g[x]){
if(v==fa)continue;
dfs(v,x);
}
}
int lca(int a,int b){
if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);
for(int i=22;i>=0;i--){
if(deep[f[a][i]]>=deep[b])a=f[a][i];
}
if(a==b)return a;
for(int i=22;i>=0;i--){
if(f[a][i]!=f[b][i]){
a=f[a][i];
b=f[b][i];
}
}
return f[a][0];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
cin>>u>>v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs(s,0);
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}
}
while(m--){
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<lca(a,b)<<"\n";
}
return 0;
}